Натуральное число a является делителем числа b, если при делении b на a получается натуральное число без остатка. Число b в этом случае называется кратным числа a. Каждое натуральное число делится на 1 и на самого себя.

Признаки делимости позволяют определить, делится ли число на 2, 3, 5, 9 или 10 без выполнения самого деления. Число делится на 2, если его последняя цифра чётная; на 5 — если оканчивается на 0 или 5; на 3 и 9 — если сумма цифр делится соответственно на 3 или 9.

Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два делителя — 1 и само себя. Число 1 не является ни простым, ни составным. Составное число имеет более двух делителей. Любое составное число можно разложить на простые множители.

Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких чисел — это наибольшее число, на которое каждое из них делится без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Связь: НОД(a,b) × НОК(a,b) = a × b.

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число. Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на их общий делитель. Дробь, у которой НОД числителя и знаменателя равен 1, называется несократимой.

Для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями нужно привести их к наименьшему общему знаменателю. Для этого находят НОК знаменателей, затем умножают числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

При умножении дробей перемножают числители и знаменатели: (a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d). Перед умножением удобно сократить дроби «крест-накрест». Нахождение дроби от числа — это умножение числа на эту дробь.

Деление дроби на дробь — это умножение на обратную дробь: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c). Обратная дробь получается перестановкой числителя и знаменателя местами. Число, на которое нужно умножить данное число, чтобы получить 1, называется обратным.

При умножении десятичных дробей перемножают их как целые числа, затем отделяют запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. При делении выполняют деление как для натуральных чисел, перенося запятую в частном над запятой делимого.

Обыкновенную дробь можно перевести в десятичную делением числителя на знаменатель. Если деление заканчивается — дробь конечная. Если образуется повторяющийся остаток — периодическая. Период записывают в скобках: 1/3 = 0,(3).

Процент — это одна сотая часть числа. Для нахождения процентов от числа умножают число на десятичную дробь, соответствующую данному проценту. Для нахождения числа по его проценту — делят данное значение на соответствующую десятичную дробь.

Отрицательные числа расположены на числовой прямой левее нуля. Каждому положительному числу соответствует симметричное ему отрицательное. Числа −a и a называются противоположными. Модуль числа — его расстояние до нуля: |−5| = |5| = 5.

При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают модули и ставят общий знак. При сложении чисел с разными знаками вычитают меньший модуль из большего и ставят знак числа с большим модулем. Вычитание заменяют прибавлением противоположного числа.

При умножении и делении двух чисел: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Произведение (частное) вычисляют по модулям, затем ставят нужный знак. Чётное число отрицательных множителей — результат положительный; нечётное — отрицательный.

Отношение двух чисел — это частное от деления одного на другое. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого. Оба числа должны быть выражены в одних единицах измерения.

Пропорция — равенство двух отношений: a/b = c/d. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних: a × d = b × c. Это позволяет найти любой неизвестный член пропорции.

Прямая пропорциональность: при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же (y = kx). Обратная: при увеличении одной величины другая уменьшается во столько же раз (y = k/x). Коэффициент k называют коэффициентом пропорциональности.